什么是共鸣？
在上一篇笔记中，我们了解了声音的工作原理。 让我们重复这个公式：
声音 = 地音 + 所有多重谐波
此外，在日本人欣赏樱花的同时，我们也会欣赏频率响应图——声音的幅频特性（图1）：
回想一下，横轴代表音高（振荡频率），纵轴代表响度（幅度）。
每条垂直线都是一个谐波，第一个谐波通常称为基波。 谐波排列如下：二次谐波比基音高2倍，三次谐波为三，四次谐波为四，依此类推。
为了简洁起见，而不是“频率 n次谐波”我们会简单地说“n次谐波”，而不是“基频”——“声音频率”。
所以，看看频率响应，我们不难回答这个问题，什么是协和。
如何数到无穷大？
谐音的字面意思是“共同发声”，联合发声。 两种不同的声音在一起听起来像什么？
让我们将它们画在同一张图表上（图 2）：
答案是：一些谐波可以在频率上重合。 合乎逻辑的假设是，匹配频率越多，“共同”的声音就越多，因此，这种音程的声音就越和谐。 确切地说，重要的不仅仅是匹配谐波的数量，而是所有发声谐波匹配的比例，即匹配数量与发声谐波总数的比率。
我们得到计算协和的最简单公式：
哪里 N索夫普 是匹配谐波的数量， N常见 是发声谐波的总数（不同发声频率的数量），并且 缺点 是我们想要的和谐。 为了在数学上正确，最好将数量称为 频率协调性的量度。
好吧，事情很小：你需要计算 N索夫普 и N常见，除以另一个，得到想要的结果。
唯一的问题是谐波总数甚至匹配谐波的数量都是无限的。
如果我们将无穷除以无穷会发生什么？
让我们改变上一张图表的比例，“远离”它（图 3）
我们看到匹配的谐波一次又一次地出现。 重复图片（图 4）。
这种重复会帮助我们。
我们计算其中一个虚线矩形（例如，在第一个）中的比率 (1) 就足够了，然后，由于重复和整行，该比率将保持不变。
为简单起见，第一个（较低）声音的基音的频率将被视为等于一，而第二个声音的基音的频率将被写为不可约分数 
.
让我们在括号中指出，在音乐系统中，通常使用的正是声音，其频率比率由某个分数表示 
. 例如，五分之一的间隔是比率 
, 夸脱 – 
，特里顿— 
等等
让我们计算第一个矩形内的比率 (1)（图 4）。
计算匹配谐波的数量相当容易。 形式上，它们有两个，一个属于低声部，第二个属于上声部，在图 4 中它们用红色标记。 但是这两个谐波分别以相同的频率发出声音，如果我们计算匹配频率的数量，那么将只有一个这样的频率。
发声频率的总数是多少？
让我们像这样争论。
较低声音的所有谐波都以整数（1、2、3等）排列。 只要顶部声音的任何谐波是整数，它将与底部的谐波之一重合。 高音的所有谐波都是基音的倍数 , 所以频率 n- 次谐波将等于：
也就是说，它将是一个整数（因为 m 是一个整数）。 这意味着矩形中的上部声音具有从第一个（基音）到 n-哦，因此，声音 n 频率。
由于较低声音的所有谐波都位于整数中，并且根据（3），第一次重合发生在频率 m, 原来矩形内较低的声音会给出 m 发声频率。
需要注意的是，重合频率 m 我们又数了两次：当我们计算高音的频率时，以及当我们数低低音的频率时。 但实际上，频率是一，为了正确答案，我们需要减去一个“额外”频率。
矩形内所有探测频率的总和将是：
将（2）和（4）代入式（1），我们得到一个计算和声的简单表达式：
为了强调我们计算的声音的和声，您可以在括号中指出这些声音 缺点:
使用这样一个简单的公式，您可以计算任何音程的协和。
现在让我们考虑频率协和的一些特性及其计算示例。
属性和示例
首先，让我们计算最简单音程的协和音，并确保公式（6）“有效”。
什么区间最简单？
绝对是首要的。 两个音符齐声发声。 在图表上，它将如下所示：
我们看到所有的探测频率绝对一致。 因此，协和必须等于：
现在让我们用比率代替齐声 
代入式(6)，我们得到：
计算结果与“直观”的答案一致，这是意料之中的。
让我们再举一个例子，其中直观的答案同样显而易见——八度音阶。
在一个八度音程中，高音比低音高 2 倍（根据基音的频率），分别在图表上如下所示：
从图中可以看出，每个二次谐波都重合，直观的答案是：谐和度为50%。
让我们通过公式（6）计算它：
同样，计算值等于“直观”。
如果我们把音符当作较低的声音 至 并在图表上绘制八度音阶内所有音程的协和值（简单区间)，我们得到下图：
和弦的最高音阶在八度、五度和四度。 他们在历史上提到了“完美”的谐音。 小三度和大三度，小六度和大六度略低，这些间隔被认为是“不完美的”协和。 其余的音程具有较低程度的协和，传统上它们属于不协和组。
现在我们列出频率协和测量的一些属性，这些属性来自其计算公式：
- 比率越复杂
（数量越多 m и n)，音程的辅音越少.
И m и n 在公式（6）中，在分母中，因此，随着这些数字的增加，和声的量度减小。
- 音程的上同音等于音程的下同音。
为了得到一个向下间隔而不是一个向上间隔，我们需要比率 交换 m и n. 但是在公式（6）中，这样的替换绝对不会改变。
- 一个音程的频率协和的度量并不取决于我们从哪个音符构建它。
如果您将两个音符向上或向下移动相同的音程（例如，不是从一个音符构建五度 至，但从注释 d)，然后比率 音符之间不会改变，因此，频率协和的测量值将保持不变。
我们可以给出和声的其他属性，但现在我们将限制在这些属性上。
物理和歌词
图 7 让我们了解了协和是如何工作的。 但这就是我们真正感知音程协调性的方式吗？ 是否有人不喜欢完美的和声，但最不和谐的和声似乎令人愉快？
是的，这样的人肯定存在。 为了解释这一点，应该区分两个概念： 身体上的和谐 и 感知和谐.
我们在本文中考虑的所有内容都与身体协调性有关。 要计算它，您需要知道声音是如何工作的，以及不同的振动是如何叠加的。 身体协调性为感知协调性提供了先决条件，但并非 100% 决定它。
感知到的和声是非常简单地确定的。 有人问他是否喜欢这种谐音。 如果是，那么对他来说，这是和谐； 如果不是，那就是不和谐。 如果给他两个音程进行比较，那么我们可以说其中一个在此时的人看来更辅音，另一个则不那么辅音。
可以计算感知到的协调性吗？ 即使我们假设它是可能的，那么这个计算将是灾难性的复杂，它将包括一个更多的无限——一个人的无限：他的经验、听力特征和大脑能力。 这种无穷大不是那么容易处理的。
然而，这方面的研究正在进行中。 特别是，为这些音符提供音频材料的作曲家 Ivan Soshinsky 开发了一个程序，您可以使用该程序为每个人构建一个单独的谐音感知图。 mu-theory.info 网站目前正在开发中，任何人都可以在其中进行测试并找出他们的听力特征。
然而，如果有一种感知到的和声，它与物理的不同，那么计算后者的意义何在？ 我们可以用更有建设性的方式重新表述这个问题：这两个概念是如何关联的？
研究表明，平均感知和谐与身体和谐之间的相关性约为 80%。 这意味着每个人可能有自己的个人特征，但声音的物理特性对和声的定义做出了巨大的贡献。
当然，这方面的科学研究还处于起步阶段。 而作为声音的结构，我们采用了一个比较简单的多谐波模型，和音的计算采用了最简单的——频率，并没有考虑大脑在处理声音信号时的活动特性。 但是，即使在这种简化的框架内，理论和实验之间也获得了非常高的相关性，这一事实非常令人鼓舞，并刺激了进一步的研究。
科学方法在音乐和声领域的应用不仅限于和声的计算，还产生了更多有趣的结果。
例如，在科学方法的帮助下，音乐和声可以被图形化、可视化地描绘出来。 我们将在下一次讨论如何做到这一点。
作者——罗曼·奥莱尼科夫
